Apuntes del Curso de Acústica Musical del año 2006


Escalas y Afinación - Parte 2



a. Cómo expresar un intervalo musical?

Veremos dos maneras posibles de expresar un intervalo musical: a) como una fracción numérica del tipo m/n, b) como una expresión logarítmica. En ambas se establece una relación entre las frecuencias fundamentales de las notas que construyen el intervalo.

Serie Armónica
figura 1. Serie Armónica compuesta por los primeros 13 parciales. Nótese que aquellos que están indicados con un (*) no coinciden con la afinación del temperamento igual.

La primera es la más usual y nos indica una relación entre dos frecuencias a partir de un quebrado. La expresión será m/m, donde m y n son números naturales enteros (m,n=1,2,3,4,...). En la figura 1, la primer quinta ascendente aparece entre el segundo parcial armónico de la serie, el Do, y el tercer parcial, el Sol. La relación de quinta obtenida se expresará por tanto como 3/2. Un procedimiento similar se puede aplicar para establecer una relación de cuarta ascendente, que aparece entre el tercer y el cuarto parcial, obteniendo la relación 4/3.

Sucesivamente se consiguen las relaciones del resto de los intervalos para construir una escala musical. En la Tabla Ref. 1 (al final del capítulo) se muestran los intervalos musicales denominados usualmente como consonantes.

Para obtener la suma de dos intervalos será suficiente multiplicar ambas fracciones. El intervalo resultante entre la multiplicación de una quinta y una cuarta será por tanto una octava, 3/2*4/3=12/6=2/1; una cuarta justa más una tercera menor será: 4/3*6/5=24/15=8/5, la relación obtenida en este caso es el intervalo de sexta menor.

Otra manera corriente para expresar un intervalo es el "cent". El cent divide la octava en 1200 partes iguales. Recordemos que la percepción de la altura no es lineal con respecto a las frecuencias, por tanto para obtener esta relación, deberemos establecer una relación logarítmica entre las frecuencias fundamentales que componen el intervalo.

c=valor en cents del intervalo;
c=1200 log2(f2/f1);

ej: Calcular una quinta ascendente en valores cents.
si f2/f1=3/2 -quinta ascendente- entonces c=1200 log2(3/2)=702 cents

Para realizar la operación en logarítmo en base 10:
c=3986 log10(f2/f1)

b. Tres Afinaciones Musicales




La Afinación Justa

Establece algunas quintas y terceras como importantes dentro del esquema de afinación. Es así que se logran una serie de tríadas perefectamente afinadas pero teniendo algunas terceras no afinadas y especialmente una quinta en medio de las tríadas más importantes.

El objetivo que se persigue en la construcción de esta afinación es obtener el mayor número de combinaciones posibles que generen intervalos consonantes. Es por esto que se jerarquizan los intervalos 3/2 (quinta), 4/3 (cuarta) y 5/4 (tercera mayor).

Para desarrollar una manera de construir esta afinación comenzemos con un tono de frecuencia f1, el cual llamaremos Do.

  1. Lo primero que se realiza es introducir la octava superior, que denominaremos Do'. Esto nos conduce al intervalo de mayor consonancia de todos.
  2. Lo siguiente será agregar la quinta cuya frecuencia será 3/2f1, que denominaremos Sol. Obtenemos dos nuevos intervalos consonantes, dentro de la octava, de relaciones 3/2 (Do-Sol) y 4/3 (Sol-Do).
  3. Se presentan dos alternativas para continuar. Las notas 5/4f1 o 6/5f1, Mi y Mib respectivamente. Elegimos el primero porque nos garantiza un número mayor de consonancias.

    • Todos los intervalos son consonantes.
    • Las notas resultantes Do-Mi-Sol constituyen la tríada mayor (el intervalo 6/5 nos presenta la tríada menor).

    Figura de Juan Roederer (1995): Acústica y Psicoacústica de la Música.


  4. Siguiendo con el procedimiento se obtiene el Fa con la relación 4/3f1 (cuarta) y el La a partir de 5/6*2f1 (la octava de una tercera menor descendente). Todos los intervalos obtenidos hasta ahora se deducen de relaciones a partir de la misma fundamental.
  5. Las notas que faltan se pueden obtener con diferentes procedimientos. Elegimos el Re a partir de una cuarta descendente de Sol, 3/4*3/2f1 y el Si como la quinta de Mi 3/2*5/4f1. El intervalo Do-Re, la segunda mayor, será entonces 9/8, mientras que el intervalo Re-La introduce una problemática nueva: 10/6:9/8=1.48-aprox.3/2=1.5. Este intervalo es más corto que una quinta perfecta.

    • Dependiendo del método de afinar algunos intervalos obtendremos diferentes resultados.
    • La quinta Re-La es más pequeña que la quinta perfecta y lo mismo sucederá con otros intervalos, hay una desafinación de ciertos intervalos en beneficio de la afinación de otros.

La afinación justa está asociada al nombre de Ramos (1482) y al de de Caus (1615).

La Afinación Pitagórica

El esquema de la afinación pitagórica está basada en el círculo de quintas. La mayoría de las quintas justas están afinadas en 702cents, la relación 3/2, a su vez las terceras no se contemplan en este tipo de afinación. En su forma pura se establecen 11 quintas justas, dejando la diferencia de 23.5cents (coma ditónica) en un solo lugar.

Veamos la construcción de una escala a con esta afinación, nuevamente partiendo de una frecuencia f1 que llamaremos Do.

  1. Primero se obtiene la nota Sol, 3/2f1.
  2. Se establecen las siguientes quintas a partir de Sol, luego Re, etc, teniendo como precaución mantener todas las notas dentro de una octava, hasta llegar a la nota Si# (enarmónica de Do).
    • La equivalencia entre las 12 quintas -(3/2)12=(1.5)12=129.75 - y las 7 octavas que contienen a estas quintas (27=128) es 129.75/128, 23.5cents.
    • 8 de las 12 tríadas mayores son más anchas que 408 cents.

No es accidental que los teóricos medievales, usando esta afinación, asignen a las tercera el rol de la disonancia.

Afinación y Temperamento

Técnicamente, la palabra afinación (en inglés tuning) debe ser reservada para esquemas desarrollados con intervalo "puros", como sucedía con los dos ejemplos que se vieron, donde se determinan ciertos intervalos de manera precisa y el resto surgen "solos" generando intervalos "inexactos". Una tercera aproximación que estudiaremos, trata de resolver con un compromiso el conflicto de las quintas y las terceras, esto es desafinando deliberadamente (temperando) algunos intervalos en cantidades adecuadas; estos esquemas son llamados temperamentos.

Es posible realizar una mezcla de ambas aproximaciones, por ejemplo tomar primero una afinación pitagórica y luego temperar ciertas notas, manteniendo otras iguales al original.

No hay un límite para las diferentes maneras que un temperamento puede distribuir los errores, generalemente desiguales. Un caso importante es el temperamento promediado de 1/6-comma, que con numerosas variantes fue muy usado en el período Barroco. Las quintas son temperadas a un valor menor que las quintas afinadas justas, (en cents 698.4, las justas son de 702 cents). Esto permite que la mayor cantidad de terceras bastante afinadas (en cents 393, las justas son de 386). Este temperamento permite una circularidad, modulaciones entre diferentes tonalidades. Una variación de este temperamento irregular fue usado por J. S. Bach en el Clave bien temperado.

El temperamento igual

La afinación igualmente temperada es el método más usual para obtener una escala cromática. Supongamos que queremos obtener una escala con 12 semitonos iguales por octava. En este caso tendremos la misma relación de frecuencias para los 12 semitonos dentro de una octava.

Llamemos s(semitono) a esta relación:

  1. sf1=f2   (f1 es Do, f2 es Do#, etc)
  2. s2f1=sf2=f3
  3. ...........
  4. s12f1=2f1

    • s = 12Ö2 = 1.0595
    • La octava es el único intervalo "justo" que se utilizará.
    • Un semitono en el temperamento igual tiene un valor de 100 cents.

c. Aplicaciones Musicales

d. Referencias

Tabla de referencia 1:

Consonancias Perfectas 1/1 Unísono
2/1 octava
3/2 quinta
4/3 cuarta
Consonancias Imperfectas 5/3 Sexta Mayor
5/4 tercera mayor
6/5 tercera menor
8/5 sexta menor

Tabla de referencia 2:

cents=3986.log10(f2/f1)

23.5cents (coma ditónica) - quintas

Tabla de referencia 3:
Publicada en:
http://www.eumus.edu.uy/docentes/jure/teoria/burns/burns.html
Apuntes de "Intervals, Scales, and Tuning de Edward M. Burns y W. Dixon Ward" (1982)
entonación pitagórica entonación justa temperamento igual
intervalo nota origen
numérico
relación
interválica
cents origen
numérico
relación
interválica
cents relación
interválica
cents
unísono DO 1:1 1,000 0,0 1:1 1,000 0,0 1,000 0
segunda menor REb 28:35 1,053 90,2 16:15 1,067 111,7 1,059 100
unísono aumentado DO# 37:211 1,068 113,7 16:15 1,067 111,7 1,059 100
segunda mayor RE 32:23 1,125 203,9 10:9
9:8
1,111
1,125
182,4
203,9
1,122 200
tercera menor MIb 25:33 1,186 294,1 6:5 1,200 315,6 1,189 300
segunda aumentada RE# 39:214 1,201 317,6 6:5 1,200 315,6 1,189 300
tercera mayor MI 34:26 1,265 407,8 5:4 1,250 386,3 1,260 400
cuarta justa FA 22:3 1,333 498,1 4:3 1,333 498,1 1,332 500
quinta disminuida SOLb 210:36 1,407 588,3 45:32 1,406 590,2 1,414 600
cuarta aumentada FA# 36:29 1,424 611,7 64:45 1,422 609,8 1,414 600
quinta justa SOL 3:2 1,500 702,0 3:2 1,500 702,0 1,498 700
sexta menor LAb 27:34 1,580 792,2 8:5 1,600 813,7 1,587 800
quinta aumentada SOL# 38:212 1,602 815,6 8:5 1,600 813,7 1,587 800
sexta mayor LA 33:24 1,688 905,0 5:31,667884,41,682 900
séptima menor SIb 24:32 1,788 996,1 16:9
7:4
1,777
1,750
996,1
968,8
1,782 1000
sexta aumentada LA# 310:215 1,802 1019,1 9:5 1,800 1017,6 1,782 1000
séptima mayor SI 35:27 1,900 1109,8 15:8 1,875 1088,3 1,888 1100
octava DO 2:1 2,000 1200,0 2:1 2,000 1200,0 2,000 1200


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