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\title{Introducción a la teoría del \\
Procesamiento Digital de Señales (DSP)\\
de Audio\\
\small eMe - Escuela Universitaria de Música}
\author{Curso 2011}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\parindent0pt

\section*{Transformada de Fourier}

%\subsection*{DFT}

\subsection*{Pregunta 1}

\begin{enumerate}%[(a)]
\item Calcule la DFT de largo $N = 8$ de las siguientes secuencias:

	\begin{enumerate}
	\item $x_1 = [1,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0]$ (impulso)
	\item $x_2 = [0,\; 1,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0]$ (impulso retardado)
	\item $x_3 = [1,\; 1,\; 1,\; 1,\; 1,\; 1,\; 1,\; 1]$ (DC)
	\item $x_4 = [2,\; 1,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0,\; 0]$ 
	\end{enumerate}

\item Bosqueje gráficas de módulo y fase de las DFT obtenidas.
\item Exprese $X_4[k]$ en términos de $X_1[k]$ y $X_2[k]$, siendo $X_i[k]$ el bin k-ésimo de la DFT de la señal $x_i[n]$.
\end{enumerate}


\subsection*{Pregunta 2}
Dada una señal $x[n]$, con $n = 0, 1, 2, \dots, N-1$, considere las siguientes definiciones de la DFT directa e inversa,
\[
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\; e^{-j2\pi kn/N} \;\;\;\;\; k = 0, 1, 2, \dots, N-1 
\]
\[
x[n] = \frac{1}{N} \sum_{}^{} X[k]\; e^{j2\pi kn/N} \;\;\;\;\; n = 0, 1, 2, \dots, N-1
\]
y demuestre las siguientes propiedades de la DFT.
\begin{enumerate}
\item LINEALIDAD 

\vskip 0.2cm
Si $x[n] \overset{\textrm{DFT}}{\longleftrightarrow} X[k]$ y $y[n] \overset{\textrm{DFT}}{\longleftrightarrow} Y[k]$, considerando $a$ y $b$ dos números reales, entonces se cumple, 
\[
a\; x[n] + b\; y[n] \overset{\textrm{DFT}}{\longleftrightarrow} a\; X[k] + b\; Y[k]
\]

\item CORRIMIENTO

\vskip 0.2cm
Si se considera un corrimiento en el tiempo de $s$ muestras de las señal $x[n]$, se cumple,
\[
x[n-s] \overset{\textrm{DFT}}{\longleftrightarrow} X[k] \; e^{-j2\pi sk/N}
\]
?`A qué corresponde entonces el corrimiento en el tiempo en términos del espectro? ?`Se modifica la magnitud? ?`Y la fase?


\item CONVOLUCION

\vskip 0.2cm
Considerando la definición de convolución entre dos señales $x[n]$ e $y[n]$,
\[
x[n] * y[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m] \; y[n-m]
\]  
se cumple,
\[
x[n] * y[n] = X[k] \; Y[k],
\]  
es decir, la convolución en el tiempo corresponde al producto en frecuencia. 

\item REVERSO / CONJUGADO

\vskip 0.2cm
Si $x[n] \overset{\textrm{DFT}}{\longleftrightarrow} X[k]$, al considerar el reverso de la señal $x[-n]$ se cumple, 
\[
x[-n] \overset{\textrm{DFT}}{\longleftrightarrow} X^*[k]
\] 
donde $X^*[k]$ es el conjugado de $X[k]$. 

\end{enumerate}


\subsection*{Pregunta 3}
Al calcular una DFT de 128 puntos a partir de un cierta señal aparece un pico en el índice k = 32. ¿Cuál es la frecuencia del pico expresada como fracción de la frecuencia de muestreo? ¿Cuál es la frecuencia de muestreo si el pico corresponde a 1250 Hz en la señal analógica?

\subsection*{Pregunta 4}
Considere una señal compuestra por dos sinusoides. Se desea saber cual es la mínima diferencia en frecuencia y amplitud entre las sinusoides de modo de que puedan resolverse sin dificultad. 

\begin{enumerate}
\item Calcule la mínima diferencia en frecuencia tal que los lóbulos principales no se solapen (como se muestra en la Figura \ref{fig:diffreq}), para las diferentes ventanas del Cuadro \ref{tab:ventanas}. 
\item Calcule la diferencia de amplitud para que la amplitud del componente más débil coincida con la amplitud  del primer lóbulo secundario del componente de mayor amplitud (como se muestra en la Figura \ref{fig:diffreq}), para las diferentes ventanas del Cuadro \ref{tab:ventanas}.
\item Suponga que los componentes tienen frecuencias $f_1 = 0.25$ y $f_2 = 0.29$. ?`Qué ventana(s) permitiría(n) que los lóbulos principales no se solapen?
\item Si las amplitudes de los componentes son $a_1 = 1$ y $a_2 = 0.02$, ?`Qué ventana(s) permitiría(n) que el componente más débil supere al menos en 3dB al lóbulo secundario del componente de mayor amplitud? ?`Se puede cumplir este requerimiento para alguna ventana sin que los lóbulos principales se solapen (con las frecuencias del punto anterior)?
\end{enumerate}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.65\columnwidth]{hann_lim.eps}
\includegraphics[width=0.65\columnwidth]{hann_lim_amp.eps}
\caption{\label{fig:diffreq}Arriba: Mínima diferencia en frecuencia tal que los lóbulos principales de dos componentes sinusoidales no se solapan. Abajo: Diferencia de amplitud entre dos componentes sinusoidales tal que el más débil iguala al primer lóbulo secundario del componente de mayor amplitud.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{table}[h]\scriptsize
\begin{center}
%\centering
\begin{tabular}{c||c|c|}
  & \textbf{Ancho} & \textbf{Amplitud} \\
  & \textbf{lóbulo} & \textbf{1er lóbulo} \\
  & \textbf{principal} &  \textbf{secundario} \\
  & (aproximado) &  (dB) \\ \hline \hline
  &  &  \\ 
 \textbf{Rectangular} & \(4\pi/(N+1)\) & -13 \\ 
  &  &  \\ \hline
  &  &  \\ 
 \textbf{Hann} & \(8\pi/N\) & -31 \\ 
  &  &  \\ \hline
  &  &  \\ 
 \textbf{Hamming} & \(8\pi/N\) & -41 \\ 
  &  &  \\ \hline
  &  &  \\ 
 \textbf{Blackman} & \(12\pi/N\) & -57 \\ 
  &  &  \\ \hline
\end{tabular}
\caption{\label{tab:ventanas}Ancho del lóbulo principal y amplitud del primer lóbulo secundario.} 
\end{center}
\end{table}

\subsection*{Pregunta 5}
Considere la señal de voz cantada del archivo \texttt{ohwhere22050.wav}, disponible en la página del curso. Usando un editor de audio (e.g. Wavesurfer) determine largo y tipo de ventana, así como largo de la \texttt{FFT} (i.e.\ cantidad de ceros), de modo de poder resolver su estructura armónica. Repita lo mismo para visualizar las formantes manteniendo la mejor resolución temporal posible. 
 
\end{document}



