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\title{Introducción a la teoría del \\
Procesamiento Digital de Señales (DSP)\\
de Audio\\
\small eMe - Escuela Universitaria de Música}
\author{Curso 2011}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\parindent0pt

\section*{Introducción}

\subsection*{Números complejos}

\subsection*{Pregunta 1}

Usando la identidad de Euler demuestre que

\begin{enumerate}
\item $e^{j\pi} + 1 = 0$
\item $\cos(\theta) = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}$
\item $\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}$
\item $[\cos(\theta) + j \sin(\theta)]^n = \cos(n\theta) + j \sin(n\theta) $
\end{enumerate}

\subsection*{Pregunta 2}

Dado el número complejo $z = x + jy$ donde $x$ y $y$ son reales, encuentre 

\begin{enumerate}
\item parte real
\item parte imaginaria
\item módulo
\item fase
\item complejo conjugado
\end{enumerate}


\subsection*{Pregunta 3}

Convierta los siguientes números complejos a notación Cartesiana (i.e. $x+jy$)

\begin{enumerate}
\item $5 e^{j \pi / 2}$
\item $(1+j)^2$
\item $e^{j \pi / 6}$
\item $(-1)^{1/4}$
\item $(1+j) (1-j)$
\end{enumerate}

\subsection*{Pregunta 4}

Convierta los siguientes números complejos a notación polar (i.e. $r e^{j\theta}$)

\begin{enumerate}
\item $1+j$
\item $1+j\sqrt(3)$
\item $2+j2$
\item $R\cos(\theta)+jR\sin(\theta)$
\item $e^{j\pi} + 1$
\item $\sin(\theta)+j\cos(\theta)$

\end{enumerate}


\subsection*{Pregunta 5}

Si un número complejo $z$ es multiplicado por $j$, ?`de cuántos grados es la rotación que sufre $z$ en el plano complejo? ?`La rotación es en sentido horario o antihorario? ?`A cuántos radianes corresponde?

\subsection*{Trigonometría}

\subsection*{Pregunta 6}

Dada la señal $x(t) = 4 \sqrt(2) \sin(w_0 t + 45^o) + 3 \cos(w_0 t)$, obtenga su correspondiente expresión en la forma $x(t) = A \cos(w_0 t + \phi)$, donde $\phi$ está en radianes.

\subsection*{Pregunta 7}

Encuentre la amplitud y la fase de las siguientes sinusoides,
\begin{enumerate}
\item $\cos(wt) + \sin(wt)$
\item $\sin(wt) + \sqrt(3) \cos(wt)$
\end{enumerate}

\subsection*	{Convolución}

\subsection*{Pregunta 8} 

Dos señales, a[n] y b[n], se definen como:
\begin{itemize}
\item[] a[n]:  1, 0, 0, 2, 1, 0 
\item[] b[n]:  0,-1,-2, 0, 0, 1
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Calcule a[n]*b[n] mediante la descomposición en impulsos de a[n], convolucionando cada componente con b[n] y sintetizando (sumando) el resultado.
\item Calcule a[n]*b[n] mediante la descomposición en impulsos de b[n], convolucionando cada componente con a[n] y sintetizando (sumando) el resultado.
\item ?`El resultado de los dos métodos concuerda? ?`Qué propiedad se cumple en este ejemplo?  
\end{enumerate}


\subsection*{Pregunta 9} 

Calcule la convolución de la señal: h[n] = 1, 2, 3, 0, 0 con las siguientes señales,
\begin{enumerate}
\item x[n] =  $\delta[n]$
\item x[n] = $-5 \; \delta[n-2] $
\item x[n] =  $2 \; \delta[n+1] - \; \delta[n+1]$
\end{enumerate}

\subsection*{Pregunta 10} 

A continuación se proporciona la respuesta al impulso de tres sistemas diferentes. Realice un diagrama de bloques y calcule la respuesta al impulso de las combinaciones indicadas.
\begin{itemize}
\item[] sistema A:  3, 2, 1, 0
\item[] sistema B:  0, 1,-1, 0
\item[] sistema C:  1, 1, 1, 1
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item La combinación en paralelo de los sistemas A y B.
\item La combinación en paralelo de los sistemas A, B y C.
\item La combinación en cascada de los sistemas A y B.
\item La combinación en cascada de los sistemas B y A.
\item La cascada de los sistemas A y B, en paralelo con el sistema C.
\end{enumerate}

\end{document}



